Лучшее - враг

March 22, 2021, 7:36 am

≫ Next: Последовательность

$

0

0

22.03.2021в 10:06

Пишет Diary Spirit:

Перенос данных на новую версию.
Уважаемые пользователи, сегодня планируется перенос данных на новую версию сайта, в связи с чем сайт будет не доступен несколько часов. Спасибо за понимание!
Точное время переноса будет озвучено отдельно в комментариях.

URL записи

---

Последовательность

March 23, 2021, 10:19 am

≫ Next: Планиметрия

≪ Previous: Лучшее - враг

$

0

0

Пусть $a_1,a_2,a_3,\cdots$ --- неубывающая последовательность положительных целых чисел. Для каждого $m \ge 1$ определим $b_m=\min\{n: a_n \ge m\}$, то есть $b_m$ равно минимальному значению $n$ такому, что $a_n\ge m$. Известно, что $a_{19}=85.$ Найдите наибольшее значение суммы $a_1+a_2+\cdots+a_{19}+b_1+b_2+\cdots+b_{85}.$

Планиметрия

March 24, 2021, 9:51 pm

≫ Next: Планиметрия

≪ Previous: Последовательность

$

0

0

Пусть ABC - остроугольный треугольник. Пусть D - основание высоты, проведенной к стороне BC; точка M - середина стороны BC; точка F - точка пересечения биссектрисы угла BAC и стороны BC. Найдите все треугольники, для которых точка F является серединой отрезка DM.

Примечание. В этой задаче выражение найти треугольникозначает определить длины сторон треугольника.

Планиметрия

March 24, 2021, 9:53 pm

≫ Next: Прогрессия

≪ Previous: Планиметрия

$

0

0

Точка O лежит внутри треугольника ABC, точки M, N и P являются точками пересечения AO и BC, BO и CA, CO и AB, соответственно. Докажите, что среди шести образовавшихся треугольников есть как минимум два, чья площадь меньше или равна [ABC]/6.

Примечание. [ABC] обозначает площадь треугольника ABC.

Прогрессия

March 24, 2021, 9:55 pm

≫ Next: Лазеры

≪ Previous: Планиметрия

$

0

0

Определите, для каких значений n существует выпуклый n-угольник, величины внутренних углов которого, выраженные в градусах, являются целыми числами, образующими непостоянную арифметическую прогрессию.

Лазеры

March 24, 2021, 9:57 pm

≫ Next: Планиметрия

≪ Previous: Прогрессия

$

0

0

Пусть n - натуральное число. В квадратной сетке n х n в некоторых ячейках вдоль одной из диагоналей установлено двустороннее зеркало. Вне сетки с левой и с правой стороны от каждой строки установлены лазерные указки, направленные горизонтально к сетке. Указки пронумерованы числами от 1 до n с каждой стороны, в обоих случаях сверху вниз. Луч каждого красного лазера покидает сетку у верхнего края, луч каждого зеленого лазера покидает сетку у нижнего края. Пусть установлены только красные и зеленые лазеры. Докажите, что сумма номеров красных лазеров меньше или равна сумме номеров зеленых лазеров.

Планиметрия

March 24, 2021, 10:00 pm

≫ Next: Система

≪ Previous: Лазеры

$

0

0

Дан треугольник ABC, в котором AB < AC и точка I является центром вписанной окружности. Вписанная окружность касается стороны BC в точке D. Пусть E - точка такая, что D является серединой отрезка BE. Прямая, перпендикулярная BC и проходящая через E, пересекает CI в точке P. Докажите, что прямая BP перпендикулярна AD.

Система

March 24, 2021, 10:03 pm

≪ Previous: Планиметрия

$

0

0

Найдите все действительные значения $(x, y, z)$ такие, что \[ \begin{array}{rcl} x + y + z&=&1\\ x^2y + y^2z + z^2x&=&xy^2 + yz^2 + zx^2\\ x^3 + y^2 + z&=&y^3 + z^2 + x \end{array} \]

---